Question

已知函數f（x）=2sin2(

π

4

x+

π

4

)
（Ⅰ）把f（x）解析式化為f（x）=Asin（ωx+?）+b的形式，并用五點法作出函數f（x）在一個周期上的簡圖；
（Ⅱ）計算f（1）+f（2）+…+f（2012）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用倍角公式和誘導公式對函數解析式進行化簡，再利用正弦函數的五個關鍵點進行列表、描點、連線；
（Ⅱ）根據函數解析式先求出周期，再求出一個周期內的函數值的和，進而判斷出2012與周期的關系，再求出式子和的值．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，f(x)=2sin2(

π

4

x+

π

4

)=1-cos(

π

2

x+

π

2

)=1+sin

π

2

x
列表：

x	0	1	2	3	4
π 2 x	0	π 2	π	3π 2	2π
y=1+sin π 2 x	1	2	1	0	1

描點畫圖，如圖所示：








（Ⅱ）∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+1+0+1=4，而y=f（x）的周期為4，且2012=4×503，
∴f（1）+f（2）+…+f（2012）=4×503=2012．

點評：本題是關于三角函數的綜合題，涉及了倍角公式、誘導公式的應用，“五點作圖法”的步驟，函數周期性的應用求式子的值，考查了分析、解決問題能力和作圖能力．