Question

利民工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品，當(dāng)年產(chǎn)量在150T至250T之內(nèi)，當(dāng)年生產(chǎn)的總成本y（萬元）與年產(chǎn)量x（T）之間的關(guān)系可近似地表示為y=

x2

10

-30x+4000．
（Ⅰ）當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時，每噸的平均成本最低，并求每噸最低平均成本；
（Ⅱ）若每噸平均出廠價為16萬元，求年生產(chǎn)多少噸時，可獲得最大的年利潤，并求最大年利潤．

Answer 1

分析：（I）利用總成本除以年產(chǎn)量表示出平均成本；利用基本不等式求出平均成本的最小值．
（II）利用收入減去總成本表示出年利潤；通過配方求出二次函數(shù)的對稱軸；由于開口向下，對稱軸處取得最大值．

解答：解：（I）設(shè)每噸的平均成本為W（萬元/T），
則W=

y

x

=

x

10

+

4000

x

-30≥2

x 10 • 4000 x

-30=10，（4分）
當(dāng)且僅當(dāng)

x

10

=

4000

x

，x=200（T）時每噸平均成本最低，且最低成本為10萬元．（6分）
（II）設(shè)年利潤為u（萬元），則u=16x-(

x2

10

-30x+4000)=-

x2

10

+46x-4000=-

1

10

(x-230)2+1290．（11分）
所以當(dāng)年產(chǎn)量為230噸時，最大年利潤1290萬元．（12分）

點評：本題考查將實際問題的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題、考查利用基本不等式求函數(shù)的最值需滿足：
正、二定、三相等、考查求二次函數(shù)的最值關(guān)鍵看對稱軸．