Question

PA、PB、PC兩兩垂直；②P到△ABC三邊的距離相等；③PA⊥BC，PB⊥AC；④PA、PB、PC與平面ABC所成的角相等；⑤平面PBC、PAB、PAC與平面ABC所成的銳二面角相等；⑥PA=PB=PC；⑦∠PAB=∠PAC，∠PBA=∠PBC，∠PCB=∠PCA；⑧AC⊥面PBO，AB⊥面PCO．若在上述8個序號中任意取出兩個作為條件，其中一個一定能得出O為△ABC的垂心、另一個一定能得出O為△ABC的外心的概率為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：先跟據條件判斷出八個命題中得出垂心的有三個，外心的有兩個，內心的有三個，再代入等可能時間的概率計算公式即可得到答案．
解答：解：對于①

由PA⊥PB，PA⊥PC⇒PA⊥平面PBC⇒PA⊥BC，
又PO⊥BC，⇒BC⊥平面PAO⇒BC⊥AO⇒O在BC邊的高線上；
同理：O在AC邊的高線上，
所以O為垂心．
對于②：因為：PE=PF=PD⇒OD=OE=OF⇒O為三角形的內心．
對于③：因為：PA⊥BC，PO⊥BC，⇒BC⊥平面PAO⇒BC⊥AO，O在BC邊的高線上；
同理：O在AC邊的高線上，
所以O為垂心．
對于④：因為：∠PAO=∠PBO=∠PCO⇒AO=BO=CO⇒O為三角形的外心．
對于⑤：∠PEO=∠PFO=∠PDO⇒OD=OE=OF⇒O為三角形的內心．
對于⑥：PA=PB=PC⇒AO=BO=CO⇒O為三角形的外心．
對于⑦：∠PAB=∠PAC⇒點P的射影在∠CAB的角平分線上；同理P的射影也在∠ABC的角平分線上；所以：O為三角形的內心．
對于⑧：AC⊥面PBO⇒AC⊥PO，O在AC邊的高線上，同理：O在BA邊的高線上；所以O為垂心．
即可以得出垂心的有三個，外心的有兩個．
所以：在上述8個序號中任意取出兩個作為條件，其中一個一定能得出O為△ABC的垂心、另一個一定能得出O為△ABC的外心的概率P==．
故選：A．
點評：本題是對立體幾何知識以及三角形五心，等可能時間概率的計算等知識的綜合考察．解決問題的關鍵在于得到八個命題中得出垂心的有三個，外心的有兩個，內心的有三個．