Question

設a＞0，求函數f（x）=

x

-ln（x+a）（x∈（0，+∞））的單調區間．

Answer 1

分析：由題意函數f（x）=

x

-ln（x+a），首先求出函數的導數，然后根據導數與函數單調區間的關系對a的大小進行分類討論．

解答：解：由題意得f′(x)=

1

2 x

-

1

x+a

(x＞0)，
令f′（x）=0，
即x²+（2a-4）x+a²=0，
（i）當a＞1時，
對所有x＞0，有x²+（2a-4）+a²＞0．
即f′（x）＞0，
此時f（x）在（0，+∞）內單調遞增；

（ii）當a=1時，
對x≠1，有x²+（2a-4）x+a²＞0，
即f′（x）＞0，
此時f（x）在（0，1）內單調遞增，且在（1，+∞）內也單調遞增，
又知函數f（x）在x=1處連續，
因此，函數f（x）在（0，+∞）內單調遞增；

（iii）當0＜a＜1時，
令f′（x）＞0，
即x²+（2a-4）x+a²＞0，
解得x＜2-a-2

1-a

或x＞2-a+2

1-a

，
因此，函數f（x）在區間(0，2-a-2

1-a

)，(2-a+2

1-a

，+∞)內也單調遞增．
令f′（x）＜0，
即x²+（2a-4）x+a²＜0，
解得2-a-2

1-a

＜x＜2-a+2

1-a

，
因此，函數f（x）在區間(2-a-2

1-a

，2-a+2

1-a

)內單調遞減．

點評：本題主要考查導數的概念和計算，應用導數研究函數單調性的方法及推理和運算能力．