Question

平面上動點P到定點F(1,0)的距離比P到y軸的距離大1,求動點P的軌跡方程.

Answer 1

解法一:設P點的坐標為(x,y),則有,

兩邊平方并化簡得y²=2x+2|x|.

∴

即點P的軌跡方程為y²=4x(x≥0)或y=0(x＜0).

解法二:由題意,動點P到定點F(1,0)的距離比到y軸的距離大1,由于點F(1,0)到y軸的距離為1,故當x＜0時,直線y=0上的點適合條件;當x≥0時,原命題等價于點P到點F(1,0)與到直線x=-1的距離相等,故點P在以F為焦點,x=-1為準線的拋物線上,其軌跡方程為y²=4x.

故所求動點P的軌跡方程為y²=4x(x≥0)或y=0(x＜0).

啟示:求動點的軌跡方程時,可用定義法列等量關系,化簡求解;也可判斷后,用類似于公式法的待定系數法求解,但要判斷準確,注意挖掘題目中的隱含條件,防止重、漏解.