Question

設向量

α

=（

3

sin2x，sinx+cosx），

β

=（1，sinx-cosx），其中x∈R，函數f（x）=

α

•

β

．（1）求f（x） 的最小正周期；
（2）若f（θ）=

3

，其中0＜θ＜

π

2

，求cos（θ+

π

6

）的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積、倍角公式、兩角和差的正弦余弦公式、周期公式即可得出；
（2）利用（1）的結論即可得出sin(2θ-

π

6

)=

3

2

．再利用正弦函數的單調性和θ的取值范圍、兩角和的余弦公式即可得出．

解答：解：（1）∵f（x）=

α

•

β

=

3

sin2x+(sinx+cosx)(sinx-cosx)
=

3

sin2x-cos2x
=2(

3

2

sin2x-

1

2

cos2x)
=2sin(2x-

π

6

)，
∴T=

2π

2

=π．即f （x） 的最小正周期為π．
（2）∵f （θ）=

3

，∴2sin(2θ-

π

6

)=

3

，∴sin(2θ-

π

6

)=

3

2

．
∵0＜θ＜

π

2

，∴-

π

6

＜2θ-

π

6

＜

5π

6

，∴2θ-

π

6

=

π

3

或

2π

3

．
解得θ=

π

4

或

5π

12

．
∴當θ=

π

4

時，cos(θ+

π

6

)=cos(

π

4

+

π

6

)=cos

π

4

cos

π

6

-sin

π

4

sin

π

6

=

6 - 2

4

；
當θ=

5π

12

時，cos(θ+

π

6

)=cos

7π

12

=-cos

5π

12

=

2 - 6

4

．

點評：熟練掌握三角函數的單調性、倍角公式、兩角和差的正弦余弦公式、周期公式、向量的數量積是解題的關鍵．