Question

設向量

m

=（

3

sin 2x，sin x+cos x），

n

=（1，sin x-cos x），其中x∈R，函數f(x)=

m

•

n

． 
（1）求f（x）的最小正周期及單調遞增區間；
（2）若f（θ）=

3

，其中0＜θ＜

π

2

，求θ的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的坐標運算及兩角和與差的正弦公式可將f（x）化簡為f（x）=2sin（2x-

π

6

），從而可求f（x）的最小正周期及單調遞增區間；
（2）0＜θ＜

π

2

⇒-

π

6

＜2θ-

π

6

＜

5π

6

，①由f（θ）=

3

⇒2sin（2θ-

π

6

）=

3

，②二者聯立即可求得θ的值．

解答：解：（1）∵

m

=（

3

sin2x，sinx+cosx），

n

=（1，sinx-cosx），
∴f（x）=

m

•

n

=

3

sin2x+（sinx+cosx）（sinx-cosx）
=

3

sin2x+（sin²x-cos²x）
=

3

sin2x-cos2x
=2（

3

2

sin2x-

1

2

cos2x）
=2sin（2x-

π

6

），
∴f（x）的最小正周期T=π；
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得：
kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z），
∴f（x）的單調遞增區間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）．
（2）∵f（θ）=2sin（2θ-

π

6

）=

3

，
∴sin（2θ-

π

6

）=

3

2

，
∵0＜θ＜

π

2

，
∴-

π

6

＜2θ-

π

6

＜

5π

6

，
∴2θ-

π

6

=

π

3

或2θ-

π

6

=

2π

3

，
∴θ=

π

4

或θ=

5π

12

．

點評：本題考查向量的坐標運算及兩角和與差的正弦公式，著重考查二倍角的余弦與輔助角公式的應用，考查正弦函數的單調性與求值，屬于中檔題．