Question

在△ABC（如圖1），若CE是∠ACB的平分線，則

AC

BC

=

AE

BE

．其證明過程如下：
作EG⊥AC于點G，EH⊥BC于點H，CF⊥AB于點F，
∵CE是∠ACB的平分線，
∴EG=EH．
又∵

AC

BC

=

AC•EG

BC•EH

=

S△AEC

S△BEC

，

AE

BE

=

AE•CF

BE•CF

=

S△AEC

S△BEC

，
∴

AC

BC

=

AE

BE

（1）把上面結論推廣到空間中：在四面體A-BCD中（如圖2），平面CDE是二面角A-CD-B的角平分面，類比三角形中的結論，你得到的相應空間的結論是

S△ACD

S△BCD

=

AE

BE

（2）證明你所得到的結論．

Answer 1

分析：三角形的內角平分線定理類比到空間三棱錐，根據長度類比面積，從而得到

S△ACD

S△BCD

=

AE

BE

．

解答：解：在平面中在△ABC（如圖1），若CE是∠ACB的平分線，則

AC

BC

=

AE

BE

．
將這個結論類比到空間：在四面體A-BCD中（如圖2），平面CDE是二面角A-CD-B的角平分面，
則類比的結論為根據面積類比體積，長度類比面積可得：

S△ACD

S△BCD

=

AE

BE

，
證明：設點E到平面ACD、平面BCD的距離分別為h₁、h₂，則由平面CDE是二面角A-CD-B的角平分面，知h₁=h₂，
又

S△ACD

S△BCD

=

h1S△ACD

h2S△BCD

=

VA-CDE

VB-CDE

，
∴

S△ACD

S△BCD

=

AE

BE

．
故答案為：

S△ACD

S△BCD

=

AE

BE

．

點評：本題考查了類比推理，將平面中的性質類比到空間．屬于基礎題．