Question

【題目】如圖，在三棱錐中，為的中點.

（1）證明:；

（2）若點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求直線與所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析過程；（2）.

【解析】

（1）利用勾股定理逆定理可以證明底面直角三角形的性質，結合側棱相等，可以確定是底面的垂線，進而利用線面垂直的性質進行證明即可；

（2）由（1）中的線面垂直關系，可以證明出平面和平面互相垂直，根據面面垂直的性質定理，結合線面角的定義，可以求出的長，最后利用異面直線的定義進行求解即可.

（1）因為，所以有，所以三角形是直角三角形，而為斜邊的中點.所以三角形的外心為點，因為，所以點在底面的射影是底面的外心，因此平面，而平面，因此有；

（2）由（1）可知：平面，而平面，所以平面平面，過作，垂足為，因為平面平面，所以平面，因為直線與平面所成角的正弦值為，所以，設，

所以，因此由，因此有

，根據，可得

或（舍去），故，因此點是線段的中點，取的中點，連接，則有，所以是直線與所成角（或補角），

因為，，所以，由余弦定理可知：.