Question

研究函數的對稱中心有如下結論：如果存在實數a, b使恒成立，則（a, b）為函數的圖像的對稱中心.

   （1）求證函數的圖像的對稱中心為（0，1），并求函數的圖象的對稱中心；

   （2）試用函數的性質及圖象變換解釋：“如果存在實數a, b使恒成立，則（a, b）為函數的圖象的對稱中心.”

   （3）是否存在函數，使函數的圖象有相同的對稱中心（c,d）？請對時，說明你的結論與理由.

Answer 1

解：（1）對于函數恒成立，

所以的圖象的對稱中心為（0，1）.

設的對稱中心為（a,b）

則恒成立，

即恒成立，

即恒成立，

所以

所以的圖象的對稱中心為（－1，0）

（2）由

令為奇函數，

其圖像關于原點（0，0）對稱，

而函數的圖象可由向右平移a（a>0）或向左平移單位或不進行左右平移（a=0），向上平移b（b>0）或向下平移－b（b<0）或不進行上下平移（b=0）單位得到，所以的圖像的對稱中心為（a,b）.

說明：（1）中分別說明，仿（2）也可！

（3）假設存在函數，使有相同的對稱中心（c,d）且，則，且

所以的兩個實數，

而該方程當時，，

所以假設錯誤.

所以，不存在函數有相同的對稱中心（c,d），

其中.