Question

在數列|a_n|中，a₁=t-1，其中t＞0且t≠1，且滿足關系式：a_n+1（a_n+tⁿ-1）=a_n（tⁿ⁺¹-1），（n∈N⁺）
（1）猜想出數列|a_n|的通項公式并用數學歸納法證明之；
（2）求證：a_n+1＞a_n，（n∈N⁺）．

Answer 1

分析：（1）由原遞推式得到an+1=

(tn+1-1)an

an+tn-1

，再寫出前幾項，從而猜想數列|a_n|的通項公式，進而利用數學歸納法證明．
（2）利用（1）的結論，作差進行比較，故可得證．

解答：解：（1）由原遞推式得到an+1=

(tn+1-1)an

an+tn-1

，a2=

(t2-1)a1

a1+t-1

=

1

2

(t2-1)，a3=

(t3-1)a2

a2+t2-1

=

t3-1

3

猜想得到an=

tn-1

n

…（3分）
下面用數學歸納法證明an=

tn-1

n

1⁰當n=1時   a₁=t-1   滿足條件
2⁰假設當n=k時，ak=

tk-1

k

則ak+1(

tk-1

k

+tk-1)=

tk-1

k

(tk+1-1)，∴ak+1•

k-1

k

=

tk+1-1

k

，∴ak+1=

tk+1-1

k+1

即當n=k+1時，原命題也成立．
由1⁰、2⁰知an=

tn-1

n

…（7分）
（2）an+1-an=

tn+1-1

n+1

-

tn-1

n

=

1

n(n+1)

[n(tn+1-1)-(n+1)(tn-1)]=

1

n(n+1)

[ntn(t-1)-(tn-1)]=

t-1

n(n+1)

[ntn-(tn-1+tn-2+…+t+1)]
而ntⁿ-（t^n-1+t^n-2+…+t+1）=（tⁿ-t^n-1）+（tⁿ-t^n-2）+…+（tⁿ-t）+（tⁿ-1）=t^n-1（t-1）+t^n-2（t²-1）+t^n-3（t³-1）+…+t（t^n-1-1）+（tⁿ-1）=

＞0，t＞1 ＜0，0＜t＜1

故t＞0，且t≠1時有a_n+1-a_n＞0，即a_n+1＞a_n…（13分）

點評：本題考查數列的遞推公式，用數學歸納法證明等式成立．證明當n=k+1時命題也成立，是解題的難點．