Question

直線l過拋物線

y

2

=2px(p＞0)的焦點F，且交拋物線于P、Q兩點，由P、Q分別向準線引垂線PR、QS，垂足分別為R、S，如果|PF|=a，|QF|=b，M為RS的中點，則|MF|=

ab

．

Answer 1

分析：由題意，取PQ的中點N，利用|MN|=

1

2

(|PR|+|QS|)，根據拋物線定義，可得|MN|=

1

2

|PQ|，所以PM⊥QM，利用△PRM≌△PFM，可得 MF⊥PQ，在Rt△PMQ中，MF⊥PQ，利用射影定理可得結論．

解答：解：由題意，取PQ的中點N，
∵M為RS的中點，∴MN是梯形的中位線
∴|MN|=

1

2

(|PR|+|QS|)
根據拋物線定義，可得|PR|=|PF|=a，|QS|=|QF|=b，
∴|MN|=

1

2

|PQ|，∴PM⊥QM．
∵PR=PF，∠RPM=∠FPM，PM=PM，∴△PRM≌△PFM，∴∠PFM=∠PRM=90°，∴MF⊥PQ．
在Rt△PMQ中，MF⊥PQ，∴|MF|²=|PF|×|QF|，∴|MF|=

ab

故答案為：

ab

點評：本題考查拋物線的定義，考查拋物線過焦點的性質，考查射影定理的運用，解題的關鍵是證明拋物線過焦點的性質，屬于中檔題．