Question

在數列a_n中，a₁=0時，且對任意k∈N^*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等差數列，其公差為2k．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）記Tn=

22

a2

+

32

a3

+…+

n2

an

，證明：當n為偶數時，有

3

2

＜2n-Tn≤2(n≥2)．

Answer 1

分析：（1）利用a₁=0時，且對任意k∈N^*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等差數列，代入計算，可求a₂，a₃，a₄；
（2）觀察已知條件可得a_2k+1-a_2k-1=4k，利用累加法a_2k+1=a₁+（a₃-a₁）+（a₅-a₃）+…+（a_2k-1+a_2k-3）可求出a_2k+1，從而可得數列的通項；
（3）確定數列的通項，利用分組求和法，即可證得結論．

解答：（1）解：由題設，可得a₂=a₁+2=2，a₃=a₂+2=4，a₄=a₃+4=8；
（2）解：由題意可得a_2k+1-a_2k-1=4k，k∈N₊，
所以a_2k+1-a₁=（a_2k+1-a_2k-1）+（a_2k-1-a_2k-3）+…+（a₃-a₁）=4k+4（k-1）+…+4×1=2k（k+1）
由a₁=0，得a_2k+1=2k（k+1），從而a_2k=a_2k+1-2k=2k²，a_2k+2=2（k+1）²
于是數列{a_n}的通項公式為an=

n2-1 2 ，n為奇數 n2 2 ，n為偶數

；
（3）證明：由（2）知，當n為偶數時，

n2

an

=

n2

n2 2

=2
當n為奇數時，

n2

an

=

n2

n2-1 2

=2+(

1

n-1

-

1

n+1

)
n=2時，2n-T_n=4-2=2，不等式成立
當n為偶數且n≥4時，
Tn=

22

a2

+

32

a3

+…+

n2

an

=(

22

a2

+

42

a4

+…+

n2

an

)+[

32

a3

+

52

a5

+…+

(n-1)2

an-1

]
=

n

2

×2+(

n

2

-1)×2+(

1

3-1

-

1

3+1

)+…+[

1

(n-1)-1

-

1

(n-1)+1

]=2n-2+

1

2

-

1

n

=2n-

3

2

-

1

n

∴2n-Tn=

3

2

+

1

n

∴

3

2

＜2n-Tn=

3

2

+

1

n

＜

3

2

+

1

4

＜2
綜上，當n為偶數時，有

3

2

＜2n-Tn≤2(n≥2)．

點評：本題主要考查等差數列的定義及通項公式，前n項和公式、等比數列的定義、數列求和等基礎知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法．