Question

已知點F₁、F₂分別是橢圓

x 2

a2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點，過F₁且垂直于x軸的直線與橢圓交于A、B兩點，若△ABF₂是銳角三角形，則該橢圓的離心率e的取值范圍是（　　）

• A．（0，

  2

  -1）
• B．（

  2

  -1，1）
• C．（0，

  3

  -1）
• D．（

  3

  -l，1）

Answer 1

分析：由題設知F₁（-c，0），F₂（c，0），A（-c，

b2

a

），B（-c，-

b2

a

），由△ABF₂是銳角三角形，知tan∠AF₂F₁＜1，所以

b2 a

2c

＜1，由此能求出橢圓的離心率e的取值范圍．

解答：解：∵點F₁、F₂分別是橢圓

x 2

a2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點，
過F₁且垂直于x軸的直線與橢圓交于A、B兩點，
∴F₁（-c，0），F₂（c，0），A（-c，

b2

a

），B（-c，-

b2

a

），
∵△ABF₂是銳角三角形，
∴∠AF₂F₁＜45°，∴tan∠AF₂F₁＜1，
∴

b2 a

2c

＜1，
整理，得b²＜2ac，
∴a²-c²＜2ac，
兩邊同時除以a²，并整理，得e²+2e-1＞0，
解得e＞

2

-1，或e＜-

2

-1，（舍），
∴0＜e＜1，
∴橢圓的離心率e的取值范圍是（

2

-1，1）．
故選B．

點評：本題考查橢圓的離心率的取值范圍的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．