Question

已知定義域為R的函數f(x)=

b•2x+1

2x+1+a

是奇函數．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）解關于t不等式f（k•t²-t）+f（1-k•t）＜0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由定義域為R的函數f（x）是奇函數，利用f（0）=0，f（-x）=-f（x）即可求出a、b的值．
（Ⅱ）利用函數f（x）奇偶性和單調性，將f（k•t²-t）+f（1-k•t）＜0
化為kt²-（1+k）t+1＞0．再對k討論即可．

解答：解：（Ⅰ）∵定義域為R的函數f（x）是奇函數，
∴f（0）=0，f（-x）=-f（x）．
由f（0）=0，得b+1=0，∴b=-1，∴f（x）=

-2x+1

2x+1+a

．
由f（-x）=-f（x），得

-2-x+1

2-x+1+a

=-

-2x+1

2x+1+a

，解得a=2．
∴a=2，b=-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=

1

2x+1

-

1

2

．
∵y=2^x是R上的增函數，∴y=

1

2x+1

是R上的減函數，
∴函數f（x）是R上的減函數．
∵f（k•t²-t）+f（1-k•t）＜0，
∴f（kt²-t）＜-f（1-kt），
由函數f（x）是R上的奇函數得f（kt²-t）＜f（kt-1），
由函數f（x）是R上的減函數得kt²-t＞kt-1，即kt²-（1+k）t+1＞0．（⊕）
①若k=0時，則上述不等式變為-t+1＞0，解得t＜1，即其解集為{t|t＜1}．
②當k≠0時，△=（1+k）²-4k=（k-1）²≥0．
方程kt²-（1+k）t+1=0的根為x1，2=

(1+k)±(k-1)

2k

，即x₁=1，x2=

1

k

．
當k=1時，（⊕）變為t²-2t+1＞0，∴（t-1）²＞0，即t≠1，即（⊕）的解集為{t|t≠1}．
當k＞1時，

1

k

＜1，解得（⊕）的解集為{t|t＜

1

k

，或t＞1}；
當0＜k＜1時，

1

k

＞1，解得（⊕）的解集為{t|t＞

1

k

，或t＜1}；
當k＜0時，

1

k

＜1，解得（⊕）的解集為{t|

1

k

＜t＜1}．

點評：本題考查了函數的奇偶性、單調性及解不等式，對k分類討論是解決此題的關鍵．