Question

如圖，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割為125個同樣大小的小正方體，經過攪拌后，從中隨機取一個小正方體，記它的涂漆面數為X，則X的均值E（X）=（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：由題意可知：X所有可能取值為0，1，2，3．①8個頂點處的8個小正方體涂有3面，②每一條棱上除了兩個頂點處的小正方體，還剩下3個，一共有3×12=36個小正方體涂有2面，
③每個表面去掉四條棱上的16個小正方形，還剩下9個小正方形，因此一共有9×6=54個小正方體涂有一面，④由以上可知：還剩下125-（8=36+54）=27個內部的小正方體的6個面都沒有涂油漆，根據上面的分析即可得出其概率及X的分布列，利用數學期望的計算公式即可得出．
解答：解：由題意可知：X所有可能取值為0，1，2，3．
①8個頂點處的8個小正方體涂有3面，∴P（X=3）=；
②每一條棱上除了兩個頂點處的小正方體，還剩下3個，一共有3×12=36個小正方體涂有2面，∴P（X=2）=；
③每個表面去掉四條棱上的16個小正方形，還剩下9個小正方形，因此一共有9×6=54個小正方體涂有一面，∴P（X=1）=．
④由以上可知：還剩下125-（8+36+54）=27個內部的小正方體的6個面都沒有涂油漆，∴P（X=0）=．

X		1	2	3
P

故X的分布列為
因此E（X）==．
故選B．
點評：正確找出所涂油漆的面數的正方體的個數及古典概型的概率計算公式、分布列與數學期望是解題的關鍵．