Question

拋物線y²=2px（p＞0）上縱坐標為-p的點M到焦點的距離為2．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）如圖，A，B，C為拋物線上三點，且線段MA，MB，MC與x軸交點的橫坐標依次組成公差為1的等差數列，若△AMB的面積是△BMC面積的

1

2

，求直線MB的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設點M的坐標，代入拋物線方程，利用點M到焦點的距離為2，根據拋物線定義，可求p的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知拋物線方程為y²=4x，M（1，-2）．分類討論，確定直線MB的方程，利用x₁，x₂，x₃依次組成公差為1的等差數列，確定y₁，y₂，y₃組成公差為2的等差數列，根據△AMB的面積是△BMC面積的

1

2

，可求直線MB的方程．

解答：解：（Ⅰ）設M（x₀，-p），則（-p）²=2px₀，∴x0=

p

2

，
由拋物線定義，得x0-(-

p

2

)=2
∴p=2，x₀=1．              …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知拋物線方程為y²=4x，M（1，-2）．
設A(

y12

4

，y1)，B(

y22

4

，y2)，C(

y32

4

，y3)（y₁，y₂，y₃均大于零）  …（6分）
則MA，MB，MC與x軸交點的橫坐標依次為x₁，x₂，x₃．
（1）當MB⊥x軸時，直線MB的方程為x=1，則x₁=0，不合題意，舍去．…（7分）
（2）MB與x軸不垂直時，kMB=

y   2 +2

y22 4 -1

=

4

y2-2

，
設直線MB的方程為y+2=

4

y2-2

(x-1)，即4x-（y₂-2）y-2y₂=0，
令y=0得2x₂=y₂，同理2x₁=y₁，2x₃=y₃，…（10分）
因為x₁，x₂，x₃依次組成公差為1的等差數列，
所以y₁，y₂，y₃組成公差為2的等差數列．　　　　　　　　　    …（12分）
設點A到直線MB的距離為d_A，點C到直線MB的距離為d_C，
因為S_△BMC=2S_△AMB，所以d_C=2d_A，
所以

|y32-(y2-2)y3-2y2|

16+(y2-2)2

=2

|y12-(y2-2)y1-2y2|

16+(y2-2)2

…（14分）
得|y₂+4|=2|y₂|，即y₂+4=2y₂，所以y₂=4，
所以直線MB的方程為：2x-y-4=0…（15分）

點評：本題考查拋物線的定義，考查直線的方程，考查分類討論的數學思想，考查學生的計算能力，屬于中檔題．