Question

【題目】已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若sin2 A+sin2 B=sin2C+sin AsinB，ccosB=b（1﹣cosC）．

（1）判斷△ABC的形狀；
（2）在△ABC的邊AB，AC上分別取D，E兩點，使沿線段DE折疊三角形時，頂點A正好落在邊BC上的P點處，設∠BDP=θ，當AD最小時，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由sin2A+sin2B=sin2C+sinAsinB得a2+b2=c2+ab

∴

又0＜C＜π∴

又由 ccosB=b（1﹣cosC）得：sinCcosB=sinB（1﹣cosC）

∴sinCcosB+sinBcosC=sinB∴sin（B+C）=sinB

即sinA=sinB∴a=b

故△ABC為等邊三角形

（2）解：如圖：連結AP，

∵AD=DP∴θ=2∠BAP

∴

又設AD=DP=y，AB=a，則BD=a﹣y

在△BDP中，由正弦定理有：

∴

故

∴ 時

此時

【解析】（1）利用正弦定理以及余弦定理，結合兩角和與差的三角函數，判斷三角形的形狀．（2）連結AP，設AD=DP=y，AB=a，則BD=a﹣y，由正弦定理求出表達式，通過三角函數的最值求解就．