Question

設函數，其中向量，，，x∈R．
（Ⅰ）求函數f（x）的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）將函數f（x）的圖象按向量平移，使平移后得到的圖象關于坐標原點成中心對稱，求長度最小的．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先用向量的運算法則及三角函數的倍角公式化簡f（x），再用三角函數的周期公式求．
（Ⅱ）用整體代換的方法求出平移后得到的圖象的所有對稱中心，即求得，通過二次函數的最值求．
解答：解：（Ⅰ）由題意得，f（x）=a•（b+c）=（sinx，-cosx）•（sinx-cosx，sinx-3cosx）
=sin²x-2sinxcosx+3cos²x=2+cos2x-sin2x=2+sin（2x+）．
所以，f（x）的最大值為2+，最小正周期是=π．
（Ⅱ）由sin（2x+）=0得2x+=k．π，即x=，k∈Z，
于是d=（，-2），，k∈Z．
因為k為整數，要使|d|最小，則只有k=1，此時d=（-，-2）即為所求．
點評：本小題主要考查平面向量數量積的計算方法、三角公式、三角函數的性質及圖象的基本知識，考查推理和運算能力