Question

已知條件p：函數f（x）=log₃x-3，（1≤x≤9），設F（x）=f²（x）+f（x²）．
（1）求F（x）的最大值及最小值；
（2）若條件q：“|F（x）-m|＜2”，且p是q的充分條件，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵函數f（x）=log₃x-3，（1≤x≤9），
∴F（x）=f²（x）+f（x²）
=（log₃x-3）²+log₃x²-3
=log₃²x-4log₃x+6 （1≤x≤3）（3分）
令t=log₃x，則t∈[0，1]，F（x）=t²-4t+6=（t-2）²+2
∴F（x）_max=6，F（x）_min=3．（6分）
（2）|F（x）-m|＜2?m-2＜F（x）＜m+2，
因為p是q的充分條件，∴即4＜m＜5．
∴m的取值范圍是4＜m＜5（12分）
分析：（1）把函數f（x）代入F（x），利用換元法轉化為二次函數然后求出函數的最大值及最小值；
（2）通過|F（x）-m|＜2，求出F（x）d的范圍，利用p是q的充分條件，得到不等式組，然后求實數m的取值范圍．
點評：本題是中檔題，考查對數函數與二次函數的轉化，二次函數閉區間上的最值的求法，考查計算能力．