Question

已知數列{a_n}的各項均為正數，其前n項和為S_n，點（a_n，S_n）在曲線（x+1）²=4y上，
（1）求{a_n}通項公式．
（2）設數列{b_n}滿足b1=3，bn+1=abn，求證：{b_n-1}為等比數列，并求{b_n}的通項．
（3）在（2）條件下，cn=

bn

bn-1

+

bn+1-2

bn+1-1

，求數列{c_n}前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由點（a_n，S_n）在曲線（x+1）²=4y上，得（a_n+1）²=S_n×4，n≥2時，（a_n-1+1）²=S_n-1，兩式相減結合a_n＞0可得a_n-a_n-1=2，由此能求出通項公式．
（2）由b_n+1=abn=2bn-1可得b_n+1-1=2（b_n-1），b₁=3，由此能夠證明{b_n-1}為等比數列，并能求出{b_n}的通項公式．
（3）由bn=2n+1，知cn=

bn

bn-1

+

bn+1-2

bn+1-1

=2+

1

2n+1

，由此利用分組求和法能求出數列{c_n}前n項和．

解答：（1）解：∵點（a_n，S_n）在曲線（x+1）²=4y上．
∴（a_n+1）²=S_n×4．
當n≥2時，（a_n-1+1）²=S_n-1，
兩式相減可得S_n-S_n-1=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²=a_n×4，
即（a_n-1）²=（a_n-1+1）²，
∴（a_n-a_n-1-2）（a_n+a_n-1）=0．
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2，∵（a₁+1）²=4S₁，∴a₁=1．
∴數列{a_n}是以1為首項，以2為公差的等差數列
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）證明：∵b_n+1=abn=2bn-1
∴b_n+1-1=2（b_n-1），即

bn+1-1

bn-1

=2，
∵b₁=3，∴b₁-1=2，
∴{b_n-1}為首項是2，公比是2的等比數列，
∴∴b_n-1=2•2^n-1=2ⁿ，
∴b_n=2ⁿ+1．
（3）解：∵bn=2n+1，
∴cn=

bn

bn-1

+

bn+1-2

bn+1-1

=

2n+1

2n

+

2n+1-1

2n+1

=2+

1

2n+1

，
∴數列{c_n}前n項和：
T_n=2n+（

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

）
=2n+

1 4 (1- 1 2n )

1- 1 2

=2n+

1

2

-

1

2n+1

．

點評：本題考查由數列的和與項的遞推公式求解數列的通項公式，等差數列通項公式的應用，考查數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意迭代法、構造法、裂項法和分組求和法的合理運用．