Question

【題目】已知函數（，為自然對數的底數）.

（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求的單調區間；

（2）若函數有兩個極值點，求實數的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1）單調遞增區間是，無單調遞減區間；（2）.

【解析】

（1）求出，由已知可得，進而求出，求出的解，解不等式，即可得出結論；

（2）函數有兩個極值點，即有兩個不同的解，分離參數，轉化為兩個函數交點，即可求解.

（1），

直線的斜率為，

依題意有，

，設，

當時，單調遞增，

當時，單調遞減，

所以時，取得極小值，也是最小值，

，所以在單調遞增，

單調遞增區間是，無單調遞減區間；

（2）函數有兩個極值點，

有兩個不同的解，

，令，

等價于與有兩個不同的交點，

，

，

遞增區間時，遞減區間時

當時，取得極大值，也是最大值為，

且時，，

所以當時，與有兩個交點，

即兩個不同的解，

所以函數有兩個極值點，實數的取值范圍是.