Question

某加工廠需定期購買原材料，已知每公斤原材料的價格為1．5元，每次購買原材料需支付運費600元．每公斤原材料每天的保管費用為0．03元，該廠每天需要消耗原材料400公斤，每次購買的原材料當天即開始使用(即有400公斤不需要保管)．

   (I)設該廠每x天購買一次原材料，試寫出每次購買的原材料在z天內總的保管費用y₁關于x的函數關系式：

    (Ⅱ)求該廠多少天購買一次原材料才能使平均每天支付的總費用y最少，并求出這個最少(小)值．

(Ⅲ)若一次購買原材料不少于6噸時其價格可享受八五折優惠(即為原價的85％)．問按此優惠條件，該廠多少天購買一次原材料才能使平均每天支付的總費用y最少，并求出這個最少(小)值．

Answer 1

解：(I)每次購買原材料后，當天用掉的400公斤原材料不需要保管費用，第二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公斤原材料需保管3天，……，第x天(也就是下次購買原材料的前一天)用掉最后的400公斤原材料需保管x-1天．

     ∴   每次購買的原材料在x天內總的保管費用

y₁=400×O．03[1+2+3+…+(x-1)]=6x²-6x(元)．   

(Ⅱ)由上問可知，購買一次原材料的總的費用為6x²-6x+600+1．5×400x元，

∴  購買一次原材料平均每天支付的總費用

∴.  當且僅當，即x=10時，取等號.

∴該廠10天購買一次原材料可以使平均每天支付的總費用y最少，為714元．

    (Ⅲ)按此優惠條件，則至少15天購買一次原材料，又由上問可知，按此優惠條件購買一次原材料的總的費用為

    ∴購買一次原材料平均每天支付的總費用

     

    ∴

    ∴當x≥15時，y^’>0, 即函數在[15,+∞）上是增函數

    ∴當x=15時，y取得最小值，最小值為

     ∴按此優惠條件，該廠15天購買一次原材料可以使平均每天支付的總費用y最少，最少為634元