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四面體的頂點和各棱中點共10個點,在其中取4個不共面的點,則不同的取法共有( )
A.150種
B.147種
C.144種
D.141種
【答案】分析:由題意知從10個點中任取4個點有C104種取法,減去不合題意的結果,4點共面的情況有三類,取出的4個點位于四面體的同一個面上;取任一條棱上的3個點及該棱對棱的中點;由中位線構成的平行四邊形,用所有的結果減去補合題意的結果.
解答:解:從10個點中任取4個點有C104種取法,
其中4點共面的情況有三類.
第一類,取出的4個點位于四面體的同一個面上,有4C64種;
第二類,取任一條棱上的3個點及該棱對棱的中點,這4點共面,有6種;
第三類,由中位線構成的平行四邊形(其兩組對邊分別平行于四面體相對的兩條棱),
它的4頂點共面,有3種.
以上三類情況不合要求應減掉,
∴不同的取法共有C104-4C64-6-3=141種.
故選D.
點評:本題考查分類計數原理,考查排列組合的實際應用,是一個排列組合同立體幾何結合的題目,解題時注意做到不重不漏.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源:高三數學教學與測試 題型:044

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(2)四面體的頂點和各棱中點共10個點,在其中取4個不共面的點,有多少種不同的取法?

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