Question

四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面的點，則不同的取法共有（ ）
A．150種
B．147種
C．144種
D．141種

Answer 1

【答案】分析：由題意知從10個點中任取4個點有C₁₀⁴種取法，減去不合題意的結果，4點共面的情況有三類，取出的4個點位于四面體的同一個面上；取任一條棱上的3個點及該棱對棱的中點；由中位線構成的平行四邊形，用所有的結果減去補合題意的結果．
解答：解：從10個點中任取4個點有C₁₀⁴種取法，
其中4點共面的情況有三類．
第一類，取出的4個點位于四面體的同一個面上，有4C₆⁴種；
第二類，取任一條棱上的3個點及該棱對棱的中點，這4點共面，有6種；
第三類，由中位線構成的平行四邊形（其兩組對邊分別平行于四面體相對的兩條棱），
它的4頂點共面，有3種．
以上三類情況不合要求應減掉，
∴不同的取法共有C₁₀⁴-4C₆⁴-6-3=141種．
故選D．
點評：本題考查分類計數原理，考查排列組合的實際應用，是一個排列組合同立體幾何結合的題目，解題時注意做到不重不漏．