Question

（選做題）已知矩陣

.

1 2 2 x

.

的一個特征值為3，求另一個特征值及其對應的一個特征向量．

Answer 1

分析：根據(jù)特征多項式的一個零點為3，可得x=1，再回代到方程f（λ）=0即可解出另一個特征值為λ₂=-1，最后利用求特征向量的一般步驟，可求出其對應的一個特征向量．

解答：解：矩陣M的特征多項式為

.

λ-1 -2 -2 λ-x

.

=（λ-1）（λ-x）-4…（1分）
因為λ₁=3方程f（λ）=0的一根，所以x=1…（3分）
由（λ-1）（λ-1）-4=0得λ₂=-1，…（5分）
設λ₂=-1對應的一個特征向量為α=

x y

，
則

-2x-2y=0 -2x-2y=0

得x=-y…（8分）
令x=1則y=-1，
所以矩陣M的另一個特征值為-1，對應的一個特征向量為α=

1 -1

…（10分）

點評：本題主要考查了特征值與特征向量的計算的知識，同時考查了計算能力，屬于基礎題．