Question

（本小題滿分12分）

如圖，四直棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是直角梯形，

   （I）求證：平面BB₁C₁C；

   （II）在A₁B₁上是否存在一點P，使得DP和平面BCB₁、平面ACB₁都平行？證明你的結論。

Answer 1

解: (Ⅰ)直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面ABCD， AC平面ABCD，

∴BB₁⊥AC.又∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2，

∴，∠CAB=45°，∴，BC⊥AC，又BB₁∩BC=B， BB₁、BC平面BB₁C₁C，

∴AC⊥平面BB₁C₁C; ……5分

(Ⅱ)存在符合條件的點P，且P為A₁B₁的中點.

證明:∵P為A₁B₁的中點，所以PB₁//AB，且PB₁=AB，

又DC//AB，DC=AB，∴DC//PB₁，且DC=PB₁.

四邊形DCPB₁為平行四邊形，從而CB₁//DP.

又平面ACB₁， 平面ACB₁，∴DP//平面ACB₁，，同理DP//平面BCB₁.……12分