Question

已知f（x）=ax²-2lnx，x∈（0，e]，其中e是自然對數的底．
（1）若f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（2）求f（x）的單調區間；
（3）設a＞

1

e2

，g(x)=-5+ln

x

a

，存在x₁，x₂∈（0，e]，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜9成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求導得到f^′（x），令f^′（x）=0，解出a的值，并驗證a的值是否滿足極值的條件．
（Ⅱ）先求導得到f^′（x），然后對a分類討論，看f^′（x）是大于0還是小于0，從而得到f（x）的單調區間．
（Ⅲ）把要求的問題：“存在x₁，x₂∈（0，e]，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜9成立，”轉化為“對于x∈（0，e]，|f（x）_min-g（x）_max|＜9”．進而求出a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ） f′(x)=2ax-

2

x

=

2ax2-2

x

，x∈（0，e]．
由已知f'（1）=2a-2=0，解得a=1，此時f′(x)=

2x2-2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

．
在區間（0，1）上，f^′（x）＜0；在區間（1，e）上，f^′（x）＞0．
∴函數f（x）在x=1時取得極小值．
因此a=1時適合題意．
（Ⅱ） f′(x)=2ax-

2

x

=

2ax2-2

x

，x∈（0，e]．
1）當a≤0時，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，e]上是減函數．
2）當a＞0時，f′(x)=

2a(x+ a a )(x- a a )

x

．
①若

a

a

＜e，即a＞

1

e2

，
則f（x）在(0，

a

a

)上是減函數，在(

a

a

，e]上是增函數；
②若

a

a

≥e，即0＜a≤

1

e2

，則f（x）在（0，e]上是減函數．
綜上所述，當a≤

1

e2

時，f（x）的減區間是（0，e]，
當a＞

1

e2

時，f（x）的減區間是(0，

a

a

)，增區間是(

a

a

，e]．
（Ⅲ）當a＞

1

e2

時，由（Ⅱ）可知：當x=

a

a

時，函數f（x）取得最小值，且f(

a

a

)=1+lna．
∵g（x）=-5+ln

x

a

，∴函數g（x）在區間（0，e]上單調遞增．
∴當x=e時，函數g（x）取得最大值，且g（x）_max=g（e）=-4-lna．
∵存在x₁，x₂∈（0，e]，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜9成立，
∴必有對于x∈（0，e]，|f（x）_min-g（x）_max|＜9．又∵a＞

1

e2

，
聯立得

|1+lna-(-4-lna)|＜9 a＞ 1 e2

，解得

1

e2

＜a＜e2．
∴a的取值范圍是(

1

e2

，e2)．

點評：本題綜合考查了函數的極值、單調區間及恒成立問題，掌握方法和正確計算及分類討論是解決問題的關鍵．