Question

已知向量

a

=(sinx，2)，

b

=(cosx，-1)．
（1）當

a

∥

b

時，求sin²x-sin2x的值；
（2）求f(x)=(

a

+

b

)•

a

在[-

π

2

，0]上的值域．

Answer 1

分析：（1）利用向量共線的充要條件列出方程，利用三角函數的商數關系求出tanx，利用三角函數的平方關系和二倍角公式求出值．
（2）利用向量數量積的運算律求出函數f（x），利用三角函數中的公式：asinx+bcosx=

a2+b2

sin(x+θ)化簡函數，利用三角函數的有界性求出值域．

解答：解：（1）∵

a

∥

b

，
∴2cosx+sinx=0，∴tanx=-2．
sin2x-sin2x=

sin2x-2sinxcosx

sin2x+cos2x

=

tan2x-2tanx

1+tan2x

=

8

5

．
（2）∵

a

+

b

=(sinx+cosx，1)，
∴f(x)=(

a

+

b

)•

a

=(sinx+cosx)•sinx+2
=

1

2

(sin2x-cos2x)+

5

2

=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

5

2

．
∵-

π

2

≤x≤0，
∴-

5π

4

≤2x-

π

4

≤-

π

4

，
∴-1≤sin(2x-

π

4

)≤

2

2

，
∴

5- 2

2

≤f(x)≤3．

點評：本題考查向量共線的充要條件、向量數量積的運算律、三角函數的平方關系和商數關系、三角函數的有界性．