Question

已知函數f（x）=2

3

sinωxcosωx+cos²ωx-sin²ωx（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式化簡函數表達式，通過函數的周期公式，求ω的值
（2）根據（1）中函數的解析式，結合x∈[0，

π

2

]，通過正弦函數的圖象和性質，求函數f（x）的最大值；

解答：解：（1）∵f（x）=2

3

sinωxcosωx+cos²ωx-sin²ωx
=

3

sin2ωx+cos2ωx
=2sin（2ωx+

π

6

）
∵函數f（x）的最小正周期為π，且ω＞0
故ω=1
（2）由（1）得f（x）=2sin（2x+

π

6

）
當x∈[0，

π

2

]時，
2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
當2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時，f（x）取最大值2
當2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

時，f（x）取最小值-1

點評：本題考查的知識點是三角函數中的恒等變換，三角函數的周期性及其求法，復合三角函數的最值，熟練掌握三角函數的圖象和性質是解答的關鍵．