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求證：y=ax2+2bx+c，y=bx2+2cx+a，y=cx2+2ax+b（a，b，c是互不相等的實數），三條拋物線至少有一條與x軸有兩個交點．

證明：假設這三條拋物線全部與x軸只有一個交點或沒有交點，
則有三式相加，得a2+b2+c2-ab-ac-bc≤0?（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≤0．
∴a=b=c與a，b，c是互不相等的實數矛盾，
∴這三條拋物線至少有一條與x軸有兩個交點．
分析：對于“至少”型的問題，可利用反證法，導出矛盾即可．
點評：本題考查二次函數的性質，突出考查反證法的應用，利用反證法時得到a2+b2+c2-ab-ac-bc≤0是關鍵，也是難點，考查轉化思想與推理證明的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數y=ax2+2bx+c，其中a＞b＞c且a+b+c=0．
（1）求證：此函數的圖象與x軸交于相異的兩個點．
（2）設函數圖象截x軸所得線段的長為l，求證：
3
＜l＜2
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知三個函數y=sinx+1，y=
x2-2x+2+t
，y=
1
2
(x+
1-t
x
)(x＞0)，它們各自的最小值恰好是函數
f（x）=x3+ax2+bx+c的三個零點（其中t是常數，且0＜t＜1）
（1）求證：a2=2b+2
（2）設f（x）=x3+ax2+bx+c的兩個極值點分別為（x1，m），（x2，n），若|x1-x2|=
6
3
，求f（x）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=ax2+bx+c（a≠0）圖象上有兩點A1（m1，y1），A2（m2，y2），滿足a2+（y1+y2）a+y1•y2=0．
求證：
（1）存在i∈{1，2}，使yi=-a；
（2）拋物線y=ax2+bx+c與x軸總有兩個不同的交點；
（3）若使該圖象與x軸交點為（x1，0）（x2，0），（x1＜x2），則存在i∈{1，2}，使x1＜mi＜x2．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•梅州一模）數列{bn}的首項b1=1，前n項和為Sn，對任意的n∈N*，點（n，Sn），（4，10）都在二次函數y=ax2+bx的圖象上，數列{an}滿足
bn
an
=2n．
（1）求證：數列{bn}是等差數列，并求數列{an}的通項公式；
（2）令cn=（1-
1
n+1
）-
1
an
，Rn=
1
c1
+
1
c2
+
1
c3
+…+
1
cn
，求對?n∈N*，m＞Rn都成立的最小正整數m．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知a是正整數，拋物線y=ax2+bx+c過點A（-1，4），B（2，1），并且與x軸有兩個不同的交點．
（Ⅰ）求a的最小值；
（Ⅱ）求證：此拋物線的最低點的縱坐標不超過-
178
．

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