Question

在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量

m

=（a，b），

n

=（b，c）．
（1）若向量

m

∥

n

，求滿足

3

sinB+cosB-

3

=0的角B的值；
（2）若

m

•

n

=2b²，且A-C=

π

3

，求cosB的值．

Answer 1

分析：（1）由兩個向量平行的坐標表示求出a、b、c的關系，借助于余弦定理求出角B的取值范圍，最后根據等式

3

sinB+cosB-

3

=0求出角B的值；
（2）把兩個向量的坐標代入

m

•

n

=2b²，找出a、b、c的關系，然后運用正弦定理轉化為角的關系，再借助于三角形內角和定理把角都轉化為角B，先求出sin

B

2

后，運用二倍角的余弦可求cosB．

解答：解：（1）∵

m

=(a，b)，

n

=(b，c)，

m

∥

n

，∴b²=ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，當且僅當a=c時取等號，∵0＜B＜π，∴0＜B≤

π

3

．
由

3

sinB+cosB-

3

=0得：sin(B+

π

6

)=

3

2

，
∵B+

π

6

∈(

π

6

，

π

2

]，
∴B+

π

6

=

π

3

，
∴B=

π

6

．
（2）在△ABC中，∵A-C=

π

3

，A+C=π-B，∴A=

2π

3

-

B

2

，C=

π

3

-

B

2

，
∵

m

•

n

=2b2，∴a+c=2b，∴sinA+sinC=2sinB，
∴sin(

2π

3

-

B

2

)+sin(

π

3

-

B

2

)=2sinB，展開化簡，得：

3

cos

B

2

=2×2sin

B

2

cos

B

2

，
∵cos

B

2

≠0，∴sin

B

2

=

3

4

，
∴cosB=1-2sin2

B

2

=1-

3

8

=

5

8

．

點評：本題考查了平面向量的數量積的坐標表示、模及夾角，考查了平面向量共線的條件，考查了轉化思想，解答此題的關鍵是借助于正弦和余弦定理進行邊和角的互化，是中等難度問題．