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已知函數(shù)y=f(x)是R上的奇函數(shù),當(dāng)x≤0時,f(x)=
3x
9x+1
-
1
2

(1)判斷并證明y=f(x)在(-∞,0)上的單調(diào)性;
(2)求y=f(x)的值域;
(3)求不等式f(x)>
1
3
的解集.
分析:(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義,設(shè)x1<x2<0,通過作差,變形,判號證明f(x1)<f(x2),即可
(2)當(dāng)x≤0時f(x)=
1
3x+
1
3x
,運用均值定理,先求出當(dāng)x≤0時函數(shù)f(x)的值域,再利用對稱性得y=f(x)的值域
(3)由(2)知,不等式f(x)>
1
3
?
1
3
<f(x)<
1
2
,將f(x)中的3x看成整體,轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解,再解指數(shù)不等式即可得所求解集
解答:解:(1)設(shè)x1<x2<0,則3x13x23x1+x2<1
f(x1)-f(x2)=
3x1
9x1+1
-
3x2
9x2+1
=
3x1+2x2+3x1-32x1+x2-3x2
(9x1+1)(9x2+1)
=
(3x1-3x2)(1-3x1+x2)
(9x1+1)(9x2+1)
<0

∴f(x1)<f(x2),即y=f(x)在(-∞,0)上是增函數(shù).   
(2)∵0<
3x
9x+1
=
1
3x+
1
3x
1
2

∴當(dāng)x≤0時,f(x)=
3x
9x+1
-
1
2
∈(-
1
2
,0]
;             
∵當(dāng)x>0時,f(x)=
1
2
-
3x
9x+1
∈(0,
1
2
)
.       
綜上得 y=f(x)的值域為 (-
1
2
1
2
)
.            
(3)∵f(x)∈(-
1
2
1
2
)

又∵f(x)>
1
3
,∴f(x)∈(
1
3
1
2
)
,此時f(x)=
1
2
-
3x
9x+1
單調(diào)遞增,
f(1)=
1
5
1
3
,∴f(x)∈(
1
3
1
2
)
時,x>1⇒3x>3.
1
2
-
3x
9x+1
1
3

3x
9x+1
1
6
32x-6•3x+1>0⇒3x>3+2
2
⇒x>log3(3+2
2
)

∴不等式f(x)>
1
3
的解集是(log3(3+2
2
),+∞)
點評:本題考查了函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的定義及運用,利用函數(shù)的單調(diào)性和對稱性解不等式、求值域的方法,解題時要特別利用對稱性,提高解題速度
練習(xí)冊系列答案
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-x(1+x)
-x(1+x)

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[-3,3]
[-3,3]

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(1,3]
(1,3]

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