Question

在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，P為四邊形ABCD外一點，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，PA＝2AB＝2．

(1)若F為PC的中點，求證PC⊥平面AEF；

(2)求證CE∥平面PAB．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵PA＝CA，F為PC的中點， 　　∴AF⊥PC．　　2分 　　∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， 　　∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC． 　　∵E為PD中點，F為PC中點，∴EF∥CD．則EF⊥PC．　　5分 　　∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．　　6分 　　(2)證法一： 　　取AD中點M，連EM，CM．則EM∥PA． 　　∵EM平面PAB，PA平面PAB，∴EM∥平面PAB．　　8分 　　在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°， 　　∴MC∥AB． 　　∵MC平面PAB，AB平面PAB，∴MC∥平面PAB．　　10分 　　∵EM∩MC＝M， 　　∴平面EMC∥平面PAB．∵EC平面EMC，∴EC∥平面PAB．　　12分 　　證法二： 　　延長DC、AB，設它們交于點N，連PN． 　　∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，∴C為ND的中點．　　8分 　　∵E為PD中點，∴EC∥PN．　　10分 　　∵EC平面PAB，PN平面PAB，∴EC∥平面PAB．　　12分