Question

（文）如圖，已知矩形ACEF的邊CE與正方形ABCD所在平面垂直，AB=

2

，
AF=1，M是線段EF的中點．
（1）求異面直線CM與直線AB所成的角的大小；
（2）求多面體EFABCD的表面積．

Answer 1

分析：（1）連接MD，可通過面面垂直得到線面垂直，從而在直角三角形中用勾股定理算出DC=CM=DM，得到△CDM是等邊三角形．而根據(jù)CD∥AB，可得∠CDM即為異面直線CM與AB所成的角，得到CM與直線AB所成的角為60°；
（2）多面體EFABCD的表面積為四個全等的直角三角形，加上兩個全等的等腰三角形和一個正方形，根據(jù)（1）的計算和證明的結(jié)論，得到這個表面積．

解答：解：（1）∵CD∥AB，∴∠CDM（或其補角）即為異面直線CM與AB所成的角，…（2分）
連接MD，在△CEM中，CE=EM=1，CE⊥EM
∴CM=

2

CM=CE2+EM2=2，
∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，CE⊥AC
∴CE⊥平面ABCD，結(jié)合CD?平面ABCD，得CE⊥CD
又∵Rt△CDE中，DE=

CE2+CD 2

=

3

，同理DF=

3

，∴DE=DF，
∵M(jìn)是線段EF的中點，∴DM=

DF2-MF2

=

2

，
∴△CDM中，DC=CM=DM=

2

，△CDM是等邊三角形，…（5分）
所以∠CMD=60°，即異面直線CM與AB所成的角為60°；…（6分）
（2）由（1）的計算，得S_△CDE=S_△BCE=S_△ADF=S_△ABF=

1

2

•

2

•1=

2

2

，…（8分）
S_△BEF=S△DEF=

1

2

•2•

2

=

2

…（10分）
而S_ABCD=(

2

)2=2
∴多面體EFABCD的表面積為：S表=4S△ABF+2S△DEF+SABCD=4

2

+2．…（12分）

點評：本題給出一個特殊的多面體，叫我們求異面直線所成角和幾何體的表面積，著重考查了線面垂直與面面垂直的判定與性質(zhì)和異面直線所成角的求法等知識，屬于基礎(chǔ)題．