Question

建立適當的坐標系，證明：等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高．

Answer 1

分析：建立平面直角坐標系，如圖，求出AB的方程、BC的方程，在邊CA上任取一點P（m，0），-a≤m≤a，求出P到AB的
距離PE，P到CB的距離為PF的值，再求出A到BC的距離為 h，可得PE+PF=h，命題得證．

解答：證明：設等腰三角形為ABC，以CA所在的直線為x軸，以CA的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，如圖：
設A（a，0）、C（-a，0）、B（0，b），a＞0，b＞0．
則AB的方程為bx+ay-ab=0，BC的方程為bx-ay+ab=0，在邊CA上任取一點P（m，0），-a≤m≤a，
則P到AB的距離PE=

|bm-ab|

a2+b2

=

b(a-m)

a2+b2

，P到CB的距離為PF=

|bm+ab|

a2+b2

=

b(a+m)

a2+b2

．
故PE+PF=

b(a-m)

a2+b2

+

b(a+m)

a2+b2

=

2ab

a2+b2

．
而A到BC的距離為 h=

|ab-0+ab|

a2+b2

=

2ab

a2+b2

．
故PE+PF=h，即等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高．

點評：本題主要考查用坐標法明數學命題，用截距式求直線的方程，點到直線的距離公式的應用，屬于中檔題．