Question

已知兩點F₁（-2，0），F₂（2，0），曲線C上的動點M滿足|MF₁|+|MF₂|=2|F₁F₂|，直線MF₂與曲線C交于另一點P．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設N（-4，0），若=3：2，求直線MN的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意知|MF₁|+|MF₂|=2|F₁F₂|=8＞4，所以曲線C是以F₁，F₂為焦點，長軸長為8的橢圓．由此可知曲線C的方程；
（Ⅱ）設M（x_M，y_M），P（x_P，y_P），直線MN方程為y=k（x+4），其中k≠0．由得（3+4k²）y²-24ky=0．解得y=0或．依題意，；由此可知直線MN的方程．
解答：解：（Ⅰ）因為|F₁F₂|=4，|MF₁|+|MF₂|=2|F₁F₂|=8＞4，
所以曲線C是以F₁，F₂為焦點，長軸長為8的橢圓．
曲線C的方程為．（4分）
（Ⅱ）顯然直線MN不垂直于x軸，也不與x軸重合或平行．（5分）
設M（x_M，y_M），P（x_P，y_P），直線MN方程為y=k（x+4），其中k≠0．
由得（3+4k²）y²-24ky=0．
解得y=0或．
依題意，．（7分）
因為，
所以，則．
于是
所以（9分）
因為點P在橢圓上，所以．
整理得48k⁴+8k²-21=0，
解得或（舍去），
從而．（（11分））
所以直線MN的方程為．（12分）
點評：本題考查圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解題．