Question

已知兩點F₁（-2，0），F₂（2，0），曲線C上的動點M滿足|MF₁|+|MF₂|=2|F₁F₂|，直線MF₂與曲線C交于另一點P．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設N（-4，0），若S△MNF2：S△PNF2=3：2，求直線MN的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知|MF₁|+|MF₂|=2|F₁F₂|=8＞4，所以曲線C是以F₁，F₂為焦點，長軸長為8的橢圓．由此可知曲線C的方程；
（Ⅱ）設M（x_M，y_M），P（x_P，y_P），直線MN方程為y=k（x+4），其中k≠0．由

x2 16 + y2 12 =1 y=k(x+4)

得（3+4k²）y²-24ky=0．解得y=0或y=

24k

4k2+3

．依題意yM=

24k

4k2+3

，xM=

1

k

yM-4=

-16k2+12

4k2+3

；由此可知直線MN的方程．

解答：解：（Ⅰ）因為|F₁F₂|=4，|MF₁|+|MF₂|=2|F₁F₂|=8＞4，
所以曲線C是以F₁，F₂為焦點，長軸長為8的橢圓．
曲線C的方程為

x2

16

+

y2

12

=1．（4分）
（Ⅱ）顯然直線MN不垂直于x軸，也不與x軸重合或平行．（5分）
設M（x_M，y_M），P（x_P，y_P），直線MN方程為y=k（x+4），其中k≠0．
由

x2 16 + y2 12 =1 y=k(x+4)

得（3+4k²）y²-24ky=0．
解得y=0或y=

24k

4k2+3

．
依題意yM=

24k

4k2+3

，xM=

1

k

yM-4=

-16k2+12

4k2+3

．（7分）
因為S△MNF2：S△PNF2=3：2，
所以

|MF2|

|F2P|

=

3

2

，則

MF2

=

3

2

F2P

．
于是

2-xM= 3 2 (xP-2) 0-yM= 3 2 (yP-0)

所以

xP= 2 3 (2-xM)+2= 24k2+2 4k2+3 yP=- 2 3 yM= -16k 4k2+3 .

（9分）
因為點P在橢圓上，所以3(

24k2+2

4k2+3

)2+4(

-16k

4k2+3

)2=48．
整理得48k⁴+8k²-21=0，
解得k2=

7

12

或k2=-

3

4

（舍去），
從而k=±

21

6

．（（11分））
所以直線MN的方程為y=±

21

6

(x+4)．（12分）

點評：本題考查圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解題．