Question

有一種電影放映機的放映燈泡的玻璃上鍍鋁，只留有一個透明窗用作通光孔，它的反射面是一種曲線旋轉而成的曲面的一部分，燈絲定在某個地方發出光線反射到卡門上，并且這兩物體間距離為4.5 cm，燈絲距頂面距離為2.8 cm，為使卡門處獲得最強烈的光線，在加工這種燈泡時，應使用何種曲線可使效果最佳?試求這個曲線方程.

Answer 1

思路分析：由于光線從燈絲發出，反射到卡門上光線應交于一點，這就是光線聚焦，只要把燈絲、卡門安在橢圓的2個焦點上，反射面采用旋轉橢球面就可以使光線經反射后聚焦于卡門處，因而可獲得強光.

解：采用橢圓旋轉而成的曲面，如圖建立直角坐標系，中心截口BAC是橢圓的一部分,設其方程為+=1,燈絲距頂面距離為p，由于△BF₁F₂為直角三角形，因而，|F₂B|²=|F₁B|²+|F₁F₂|²=p²+4c²，由橢圓性質有|F₁B|+|F₂B|=2a，所以a=(p+),

a=12(2.8+)≈4.05 cm,b=≈3.37 cm.∴所求方程為+=1.