Question

拋物線y²=2px（p＞0）上任一點Q到其內一點P（3，1）及焦點F的距離之和的最小值為4．
（1）求拋物線的方程；
（2）設動直線y=kx+b與拋物線交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，且|y₁-y₂|的值為定值a（a＞0），過弦AB的中點M作平行于拋物線的軸的直線交拋物線于點D，求△ABD的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖所示：過點P作PM⊥l交準線l、拋物線分別于點M、Q，根據拋物線的定義得|QF|=|QM|，可知：當三點P、Q、M共線時，|QF|+|QP|Q取得最小值．
（2）將直線與拋物線的方程聯立，消去一個未知數x得到關于另一個未知數y的一元二次方程，據根與系數的關系可得線段AB的中點M的坐標，進而求得D的坐標，于是求出|DM|．再根據可計算出，另一方面|y₁-y₂|=a，得出一個關系式，進而計算出面積．
解答：解：（1）如圖所示，由拋物線定義，，∴p=2，
∴拋物線的方程為y²=4x．
（2）如下圖：由得=0，
∴．
∴．
∴|DM|=．
∴．
∵|y₁-y₂|====a，
∴．
點評：正確理解拋物線的定義，掌握直線與圓錐曲線相交問題轉化為一元二次方程的根與系數的關系的一般方法是解題的關鍵．