Question

（1）已知π＜α＜2π,cos(α-7π)=,

求sin（3π+α）與tan(α-)的值；

（2）已知2+sinAcosA=5cos²A,求tanA的值；

（3）已知sinα+cosα=,且α∈(0,π),求sin³α-cos³α的值.

Answer 1

解：（1）∵cos(α-7π)=-cosα=,

∴cosα=.又π＜α＜2π,

∴＜α＜2π,sinα=-,

sin(3π+α)=-sinα=,tan(α-)=

(2)將已知式化為2sin²A+2cos²A+sinA·cosA=5cos²A,

∵cosA≠0，

∴2tan²A+tanA-3=0,tanA=1或tanA=-.

(3)sinαcosα==,

∵α∈(0,π),

∴sinα＞0,cosα＜0,

∴sinα-cosα＞0，

∴sinα-cosα=,

∴sin³α-cos³α=×(1)=.

思想方法小結：形如asinα+bcosα和asin²α+bsinαcosα+ccos²α的式子分別稱為關于sinα、cosα的一次齊次式和二次齊次式，對涉及它們的三角式的變換常有如上的整體代入方法可供使用.