Question

（1）已知函數f(x)=x+2+

1

x

，x∈(0，+∞)，求函數f（x）的最小值；
（2）設x，y為正數，且x+y=1，求

1

x

+

4

y

的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用基本不等式求出即可；
（2）利用“乘1法”，使用基本不等式即可．

解答：解：（1）∵x∈（0，+∞），∴f（x）=x+

1

x

+2≥2

x× 1 x

+2=4，當且僅當x=

1

x

，x＞0，即x=1時取等號，故函數f（x）的最小值為4；
（2）∵x＞0，y＞0，x+y=1，
∴

1

x

+

4

y

=(x+y)(

1

x

+

4

y

)=5+

y

x

+

4x

y

≥5+2

y x × 4x y

=9，當且僅當

y

x

=

4x

y

，x+y=1，x＞0，y＞0，即x=

1

3

，y=

2

3

時取等號，即

1

x

+

4

y

的最小值為9．

點評：變形使用基本不等式是解題的關鍵．