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設an=
1.2
+
2.3
+…+
n(n+1)
（n∈N×），比較an，
n(n+1)
2
，
(n+1)2
2
的大小，并證明你的結論．
分析：
n(n+1)
2
看成是正整數的和，利用不等關系
n(n+1)
＞
n×n
=n比較前面兩個的大小；利用不等關系
n(n+1)
＜
n+(n+1)
2
來比較后面兩個的大小．
解答：解：∵an=
1•2
+
2•3
+…+
n(n+1)
＞1+2+…+n=
n(n+1)
2
（5分）
又∵an=
1•2
+
2•3
+…+
n(n+1)

＜
1+2
2
+
2+3
2
+…+
n(n+1)
2

=
n(n+1)+n(N+3)
4
=
n2+2n
2
＜
(n+1)2
2
（11分）
∴
n(n+1)
2
＜an＜
(n+1)2
2
（12分）
點評：放縮法是不等式的證明里的一種方法，所謂放縮法，要證明不等式A＜B成立，有時可以將它的一邊放大或縮小，尋找一個中間量，如將A放大成C，即A＜C，后證C＜B，這種證法便稱為放縮法．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設an=
1•2
+
2•3
+…+
n(n+1)
(n=1，2…)，
（1）證明不等式
n(n+1)
2
＜an＜
(n+1)2
2
對所有的正整數n都成立；
（2）設bn=
an
n(n+1)
(n=1，2…)，用定義證明
lim
n→∞
bn=
1
2
.

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=log3（ax+b）圖象過點A（2，1）和B（5，2），設an=3f（n），n∈N*．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式及數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）求使不等式(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)≥a
2n+1
對一切n∈N*均成立的最大實數a；
（Ⅲ）對每一個k∈N*，在ak與ak+1之間插入2k-1個2，得到新數列：a1，2，a2，2，2，a3，2，2，2，2，a4，…，記為{bn}，設Tn是數列{bn}的前n項和，試問是否存在正整數m，使Tm=2008？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設an=
1•2
+
2•3
+…+
n(n+1)
(n=1，2…)，
（1）證明不等式
n(n+1)
2
＜an＜
(n+1)2
2
對所有的正整數n都成立；
（2）設bn=
an
n(n+1)
(n=1，2…)，用定義證明
lim
n→∞
bn=
1
2
.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設an=
1.2
+
2.3
+…+
n(n+1)
（n∈N×），比較an，
n(n+1)
2
，
(n+1)2
2
的大小，并證明你的結論．

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