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若定義在R上的函數f(x)對任意的x₁，x₂∈R，都有成立，且當x＞0時，f(x)＞1．

(1)求證：f(x)－1為奇函數；

(2)求證：f(x)是R上的增函數；

(3)若f(4)＝5，解不等式．

答案：
解析：

　　解：(1)證明：定義在R上的函數對任意的，

　　都有成立

　　令　　(1分)

　　令

　　∴　　(3分)

　　∴為奇函數　　(4分)

　　(2)證明：由(1)知：為奇函數，∴　　(5分)

　　任取，且，則

　　∵

　　∴

　　∵當時，，

　　∴，∴　　(8分)

　　∴是R上的增函數　　(9分)

　　(3)解：∵，且

　　∴　　(10分)

　　由不等式，得　　(11分)

　　由(2)知：是R上的增函數

　　∴　　(13分)

　　∴不等式的解集為：　　(14分)

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科目：高中數學 來源： 題型：

函數f（x）的定義域為A，若x₁、x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，則稱f（x）為單函數．例如，函數f（x）=2x+1（x∈R）是單函數．下列命題：
①若函數f（x）是f（x）=x²（x∈R），則f（x）一定是單函數；
②若f（x）為單函數，x₁、x₂∈A且x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）；
③若定義在R上的函數f（x）在某區間上具有單調性，則f（x）一定是單函數；
④若函數f（x）是周期函數，則f（x）一定不是單函數；
⑤若函數f（x）是奇函數，則f（x）一定是單函數．
其中的真命題的序號是

②④

．

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若定義在R上的函數f（x）滿足對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2，則下列說法一定正確的是（　　）

A、f（x）是奇函數

B、f（x）是偶函數

C、f（x）+2是奇函數

D、f（x）+2是偶函數

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科目：高中數學 來源： 題型：

若定義在R上的函數f（x）對任意的x₁，x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1成立，且當x＞0時，f（x）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）求證：f（x）是R上的增函數；
（3）若f（4）=5，不等式f（cos²x+asinx-2）＜3對任意的x∈R恒成立，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若定義在R上的函數f（x）為奇函數，且在[0，+∞）上是增函數．
（1）求證：f（x）在（-∞，0]上也是增函數；
（2）對任意θ∈R，不等式f（cos2θ-3）+f（2m-sinθ）＞0恒成立，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若定義在R上的函數f（x）滿足f（-x）=f（x），f（2-x）=f（x），且當x∈[0，1]時，其圖象是四分之一圓（如圖所示），則函數H（x）=|xe^x|-f（x）在區間[-3，1]上的零點個數為（　　）

A、5

B、4

C、3

D、2

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