Question

（本小題滿分12分）

已知直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA₁，F為棱BB₁的中點，M為線段AC₁的中點。

   （1）求證：直線MF∥平面ABCD；

   （2）求證：平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁；

   （3）求平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的大小。

Answer 1

（本小題滿分12分）解法一：

   （1）延長C₁F交CB的延長線于點N，連接AN。因為F是BB₁的中點，

       所以F為C₁N的中點，B為CN的中點。

       又M是線段AC₁的中點，故MF∥AN。

       又MF平面ABCD，AN平面ABCD。

       ∴MF∥平面ABCD。 

   （2）證明：連BD，由直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁

       可知A₁A⊥平面ABCD，

       又∵BD平面ABCD， ∴A₁A⊥BD。

       ∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD。

       又∵AC∩A₁A=A，AC，A₁A平面ACC₁A₁。

       ∴BD⊥平面ACC₁A₁。       

       在四邊形DANB中，DA∥BN且DA=BN，所以四邊形DANB為平行四邊形

       故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC₁A₁，又因為NA平面AFC₁

       ∴平面AFC₁⊥ACC₁A₁

   （3）由（2）知BD⊥ACC₁A₁，又AC₁ACC₁A₁，

       ∴BD⊥AC₁，∴BD∥NA，∴AC₁⊥NA。

       又由BD⊥AC可知NA⊥AC，

       ∴∠C₁AC就是平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的平面角或補角。

       在Rt△C₁AC中，，   

       故∠C₁AC=30°

       ∴平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的大小為30°或150°

       解法二：

       設AC∩BD=0，因為M、O分別為C₁A、CA的中點，所以，MO∥C₁C，

       又由直四棱柱知C₁C⊥平面ABCD，所以MO⊥平面ABCD。

       在棱形ABCD中，BD⊥AC，所以，OB、OC、OM兩兩垂直。

       故可以O為原點，OB、OC、OM所在直線分別為x軸、y軸、z軸如圖建立空間直角坐

       標系

       若設|OB|=1，則B（1，0，0），B₁（1，0，2），

       A（0，，0），C（0，，0），C₁（0，，2）。          

   （1）由F、M分別為B₁B、C₁A的中點可知：F（1，0，1），

       M（0，0，1），所以（1，0，0）=

       又不共線，所以，MF∥OB。

       ∵MF平面ABCD，OB平面ABCD，

       ∴MF∥平面ABCD。 

   （2）（1，0，0）為平面ACC₁A₁的法向量。

    設為平面AFC₁的一個法向量

       則

       由得

       令y=1，得z=，此時                  

       由于，所以，平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁。      

   （3）為平面ABCD的法向量，設平面AFC₁與平面ABCD所成的二面角

       的大小為，

       則

       所以=30°或150°。

       即平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的大小為30°或150°。