Question

設△ABC的BC邊上的高AD=BC，a，b，c分別表示角A，B，C對應的三邊，則

b

c

+

c

b

的取值范圍是

[2，

5

]

．

Answer 1

分析：利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積為

1

2

bcsinA，由已知高AD=BC=a，利用底與高乘積的一半表示三角形ABC的面積，兩者相等表示出sinA，然后再利用余弦定理表示出cosA，變形后，將表示出的sinA代入，得到

b

c

+

c

b

=2cosA+sinA，左邊利用基本不等式求出最小值，右邊利用特殊角的三角函數值及兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據正弦函數的值域求出右邊式子的最大值，即為

b

c

+

c

b

的最大值，即可得到

b

c

+

c

b

的范圍．

解答：解：∵BC邊上的高AD=BC=a，
∴S_△ABC=

1

2

a2=

1

2

bcsinA，
∴sinA=

a2

bc

，又cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

(

b

c

+

c

b

-

a2

bc

)，
∴

b

c

+

c

b

=2cosA+sinA=

5

（

2 5

5

cosA+

5

5

sinA）=

5

sin（α+A）≤

5

，
（其中sinα=

2 5

5

，cosα=

5

5

）又

b

c

+

c

b

≥2，
∴

b

c

+

c

b

∈[2，

5

]．
故答案為：[2，

5

]

點評：此題考查了三角形的面積公式，余弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，以及基本不等式，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．