Question

（2008•盧灣區(qū)二模）已知F₁、F₂為橢圓的兩個焦點，A為它的短軸的一個端點，若該橢圓的長軸長為4，則△AF₁F₂面積的最大值為

2

．

Answer 1

分析：利用三角形的面積求出△AF₁F₂面積關(guān)于b，c的表達式，利用橢圓中參數(shù)a，b，c的關(guān)系結(jié)合基本不等式求面積的最大值即可．

解答：解：設(shè)橢圓的短軸長為：2b，長軸長為2a，焦距為2c，
則由題意得：2a=2，b²+c²=a²=4，
△AF₁F₂面積S=

1

2

×2c×b=bc，
根據(jù)基本不等式得：bc≤

b 2+c 2

2

=2，
當且僅當b=c時取等號，
則△AF₁F₂面積的最大值為2．
故答案為：2．

點評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)、等價轉(zhuǎn)化的能力、基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，考查運算能力，屬中檔題．