Question

設S_n是數列{}的前n項的和,是否存在關于正整數n的函數f(n),使S₁+S₂+…+S_n-1=f(n)［S_n-1］對于大于1的正整數n都成立？并證明你的結論.

Answer 1

解析：假設存在f(n)，使等式成立.

當n=2時，S₁=f(2)(S₂-1),

即1=f(2)(1+-1)，解得f(2)=2.

當n=3時，S₁+S₂=f(3)(S₃-1),即1+1+=f(3)(1++-1),∴f(3)=3.

猜想f(n)=n(n≥2).

下面用數學歸納法證明：當n≥2時，等式S₁+S₂+…+S_n-1=n(S_n-1)恒成立.

①當n=2時，由上面計算知，等式成立.

②假設n=k(k≥2)時，等式成立，即

S₁+S₂+…+S_n-1=k(S_k-1),則

S₁+S₂+…+S_k-1+S_k=k(S_k-1)+S_k=(k+1)S_k-k=(k+1)(S_k+1-)-k

=(k+1)S_k+1-1-k=(k+1)(S_k+1-1),

即n=k+1時，等式也成立.

由①②知，對一切n≥2，等式都成立.

故存在f(n)=n,使S₁+S₂+…+S_n-1=f(n)(S_n-1)對大于1的正整數n都成立.