Question

設(shè)圓F以拋物線P：y²=4x的焦點F為圓心，且與拋物線P有且只有一個公共點．
（I）求圓F的方程；
（Ⅱ）過點M （-1，0）作圓F的兩條切線與拋物線P分別交于點A，B和C，D，求經(jīng)過A，B，C，D四點的圓E的方程．

Answer 1

分析：（I）設(shè)出圓F的方程，利用圓與拋物線P有且只有一個公共點，求出圓的半徑，即可得到圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點M（-1，0）與圓F相切的斜率為正的一條切線的切點為T，連接TF，推出∠TMF=30°，通過直線MT與拋物線的兩個交點為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），利用韋達定理求解|AB|，點E到直線AB的距離，求出圓E的半徑R，即可求出圓E的方程．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)圓F的方程為（x-1）²+y²=r²（r＞0）．
將y²=4x代入圓方程，得（x+1）²=r²，所以x=-1-r（舍去），或x=-1+r．
圓與拋物線有且只有一個公共點，
當(dāng)且僅當(dāng)-1+r=0，即r=1．
故所求圓F的方程為：（x-1）²+y²=1．…（4分）                           
（Ⅱ）設(shè)過點M（-1，0）與圓F相切的斜率為正的一條切線的切點為T．
連接TF，則TF⊥MF，且TF=1，MF=2，所以∠TMF=30°．…（6分）
直線MT的方程為x=

3

y-1，與y²=4x聯(lián)立，得y²-4

3

y+4=0．
記直線與拋物線的兩個交點為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則
y₁+y₂=4

3

，y₁y₂=4，x₁+x₂=

3

（y₁+y₂）-2=10．…（8分）
從而AB的垂直平分線的方程為y-2

3

=-

3

（x-5）．
令y=0得，x=7．由圓與拋物線的對稱性可知圓E的圓心為E（7，0）．…（10分）
|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+3)[(y1+y2)2-4y1y2]

=8

2

．
又點E到直線AB的距離d=

7-0+1

2

=4，所以圓E的半徑R=

(4 2 )2+42

=4

3

．
因此圓E的方程為（x-7）²+y²=48．…（12分）

點評：本題考查圓的方程的求法，圓與拋物線的位置關(guān)系，點到直線的距離公式的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．