Question

已知某拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，其上的點P（m，-3）到焦點F的距離為5．
（Ⅰ）求該拋物線的方程．
（Ⅱ）設C是該拋物線上的一點，一以C為圓心的圓與其準線和y軸都相切，求C點的坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據P點縱坐標為-3，可知拋物線開口向下，設拋物線的標準方程，根據拋物線的定義求得p，進而可得到拋物線方程；
（Ⅱ）根據C為圓心的圓與其準線和y軸都相切，可得C點到準線的距離等于它到y軸的距離，從而可設點C的坐標，代入拋物線方程可解．

解答：解：（Ⅰ）根據P（m，-3），即P點縱坐標為-3可知拋物線開口向下，設拋物線方程x²=-2py
根據拋物線的定義可知3+

p

2

=5，
∴p=4；
∴拋物線方程為x²=-8y，
（Ⅱ）根據題意，C為圓心的圓與其準線和y軸都相切，
則C點到準線的距離等于它到y軸的距離，
∴在y軸的切點為焦點F（0，-2）
設C（x，-2），代入拋物線方程，可得x²=16
∴x=±4
∴C的坐標為（4，-2）或（-4，-2）

點評：本題以拋物線的性質為載體，考查拋物線的定義，考查拋物線與圓的位置關系，屬于基礎題．