Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值點(diǎn)；

（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為；當(dāng)時(shí)，沒有極值點(diǎn)；（2）.

【解析】

（1）先求導(dǎo)數(shù)，從與0的大小分類進(jìn)行討論，可求極值點(diǎn)；

（2）利用導(dǎo)數(shù)先求出的最大值，從而可得實(shí)數(shù)k的取值范圍.

（1）由條件，，.

令，記.

當(dāng)時(shí)，，恒成立，從而，在上單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，令，解得，

且.

當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí).

所以在和上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減，極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為；當(dāng)時(shí)，沒有極值點(diǎn).

（2）當(dāng)時(shí)，，.

對(duì)任意的，恒成立，則

由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，最大值為和兩者中較大者.

而，，

，所以，

解得.